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Article N°26332
Mes petits cours de Math. : Les puissances de 10
Pour manier les puissances de dix, il nous suffit de savoir compter le nombre de zéros.
Commençons par les puissances de dix avec un exposant positif.
Le principe est le même que pour les puissances de nombre.
Nous avons notre puissance de 10 comme ceci : 10a ce qui signifie que c’est 10 multiplié par lui-même a fois. Autrement dit c’est 1 suivi de a 0
Le principe est le même que pour les puissances de nombre.
Nous avons notre puissance de 10 comme ceci : 10a ce qui signifie que c’est 10 multiplié par lui-même a fois. Autrement dit c’est 1 suivi de a 0
Exemple : 102 = 100
103 = 1000
105 = 100000
107 = 10000000
Nous retrouvons bien évidemment nos cas particuliers :
100 = 1
101 = 10
Passons maintenant aux puissances de 10 avec un exposant négatif :
Nous retrouvons la même logique de calcul que pour une puissance d’un nombre réel x.
103 = 1000
105 = 100000
107 = 10000000
Nous retrouvons bien évidemment nos cas particuliers :
100 = 1
101 = 10
Passons maintenant aux puissances de 10 avec un exposant négatif :
Nous retrouvons la même logique de calcul que pour une puissance d’un nombre réel x.
Exemple : 10-2 = 0,01
10-3 = 0,001
10-5 = 0,00001
10-7 = 0,0000001
Nous pouvons également ajouter que 10a est l’inverse de 10-a soit 10a X 10-a = 1
Addition et soustraction de deux puissances de 10 :
Nous appliquons les même règles de priorités :
Nous calculerons donc en priorité les puissances avec les additions et les soustractions :
Exemple : 103 + 104 – 102 = 1000 + 10000 – 100 = 10900
Remarquons que le résultat obtenu n’est pas une puissance de 10.
Multiplication (ou produit) de puissances de 10 :
Nous nous retrouvons dans le cas où nous avons le même nombre (ici 10) nous pouvons donc reprendre les mêmes règles de calcul soit :
10a X 10b X 10c sera égal à 10a + b + c
Exemple : 103 X 104 X 10-2 = 103 + 4 - 2 = 105 = 100000
10-3 X 10-2 = 10–3 – 2 = 10 – 5 = 0,00001
Remarquons par contre ici que le résultat obtenu est une puissance de 10.
Division ou quotient de puissance de 10.
Nous utiliserons la même règle que pour le calcul de quotient de deux puissances du même nombre :
Nous soustrayons donc les exposants :
Exemple :
Pourquoi insister sur les puissances de 10 ?
Elles vont nous servir en notation scientifique ce qui veut dire qu’elles vont nous permettre d’écrire plus facilement de très grands nombres mais également de très petits nombres (un nombre avec plein de chiffre après la virgule.
En simplifiant par les puissances de 10 nous nous simplifions le calcul de ces nombres.
Nous écrirons ces nombres sous la forme x X 10a où x est un nombre décimal écrit avec un chiffre différent de 0 avant la virgule.
Il est plus facile de manipuler les écritures scientifiques et de les comparer que des chiffres à rallonge.
Exemple : 0,00021562 peut s’écrire également 2,1562 X 10-4
0,008512 = 8,512 X 0,001 = 8,512 X10-3
Addition et soustraction de deux nombre en notation scientifique :
Dans ces opération, ce n'est pas très pratique car il faut respecter les règles de priorités, et donc utiliser l'écriture décimale des nombres
Exemple : 5,2 X 10² + 7 X 103 = 520 + 7000 = 7520
Maintenant si nous avons ce genre d’addition :
5,2 x 10² + 15,57 X 10² + 27 x 10² =
Nous nous retrouvons avec une addition de nombres en notation scientifique, mais comme les puissances de dix sont élevées au carré nous pouvons factoriser. Ce qui nous donne :
10² X (5,2 + 15,57 + 27) = 10² X 47,77 = 4777
Cela peut vous paraître compliquer mais en manipulant ces méthodes régulièrement, vous vous apercevrez que c’est un jeu d’enfant.
Multiplication (ou produit) de deux nombre en notation scientifique :
Le plus simple est de remanipuler l’opération en mettant les nombres décimaux d’un côté et les puissances de dix de l’autre. Pourquoi ? C’est très simple, je vais vous l’expliquer.
Prenons un exemple long :
3,5 X 103 X 2 X 105 X 4,5 X 10-6 X 2 X 10-4 =
Ici les doigts sur la calculatrice ont des chances de se tromper alors que si nous trions les nombres entre eux, nous obtenons :
3,5 X 2 X 4,5 X 2 X 10-4 X 103 X 105 X 10-6 =
A partir d’ici, j’utilise ce que j’ai déjà appris, à savoir
3,5 X 2 X 4,5 X 2 X 10-4+3+5-6 = 63 X 10 –2 = 63 X 0,01 = 0,63
A quoi peut également servir la notation scientifique ?
Elle peut nous permettre de comparer des nombres entre eux.
En présence de très grands nombres ou de très petits nombres, réduit à l’expression de notation scientifique, il nous est plus facile de comparer les exposants des puissances de 10.
En présence d’exposants égaux, nous n’avons plus qu’à comparer les décimaux.
Vous avouerez que c’est plus simple quand nous nous trouvons face à des tableaux de nombres conséquents (comparaison de densités, études de comparaison d’hématies….)
Quotient de deux nombres écrits en notation scientifique
Là également il est plus facile de calculer un quotient en écriture scientifique que de manipuler de très grands ou très petits nombres :
EXEMPLE :
10-3 = 0,001
10-5 = 0,00001
10-7 = 0,0000001
Nous pouvons également ajouter que 10a est l’inverse de 10-a soit 10a X 10-a = 1
Addition et soustraction de deux puissances de 10 :
Nous appliquons les même règles de priorités :
Nous calculerons donc en priorité les puissances avec les additions et les soustractions :
Exemple : 103 + 104 – 102 = 1000 + 10000 – 100 = 10900
Remarquons que le résultat obtenu n’est pas une puissance de 10.
Multiplication (ou produit) de puissances de 10 :
Nous nous retrouvons dans le cas où nous avons le même nombre (ici 10) nous pouvons donc reprendre les mêmes règles de calcul soit :
10a X 10b X 10c sera égal à 10a + b + c
Exemple : 103 X 104 X 10-2 = 103 + 4 - 2 = 105 = 100000
10-3 X 10-2 = 10–3 – 2 = 10 – 5 = 0,00001
Remarquons par contre ici que le résultat obtenu est une puissance de 10.
Division ou quotient de puissance de 10.
Nous utiliserons la même règle que pour le calcul de quotient de deux puissances du même nombre :
Nous soustrayons donc les exposants :
Exemple :
Pourquoi insister sur les puissances de 10 ?
Elles vont nous servir en notation scientifique ce qui veut dire qu’elles vont nous permettre d’écrire plus facilement de très grands nombres mais également de très petits nombres (un nombre avec plein de chiffre après la virgule.
En simplifiant par les puissances de 10 nous nous simplifions le calcul de ces nombres.
Nous écrirons ces nombres sous la forme x X 10a où x est un nombre décimal écrit avec un chiffre différent de 0 avant la virgule.
Il est plus facile de manipuler les écritures scientifiques et de les comparer que des chiffres à rallonge.
Exemple : 0,00021562 peut s’écrire également 2,1562 X 10-4
0,008512 = 8,512 X 0,001 = 8,512 X10-3
Addition et soustraction de deux nombre en notation scientifique :
Dans ces opération, ce n'est pas très pratique car il faut respecter les règles de priorités, et donc utiliser l'écriture décimale des nombres
Exemple : 5,2 X 10² + 7 X 103 = 520 + 7000 = 7520
Maintenant si nous avons ce genre d’addition :
5,2 x 10² + 15,57 X 10² + 27 x 10² =
Nous nous retrouvons avec une addition de nombres en notation scientifique, mais comme les puissances de dix sont élevées au carré nous pouvons factoriser. Ce qui nous donne :
10² X (5,2 + 15,57 + 27) = 10² X 47,77 = 4777
Cela peut vous paraître compliquer mais en manipulant ces méthodes régulièrement, vous vous apercevrez que c’est un jeu d’enfant.
Multiplication (ou produit) de deux nombre en notation scientifique :
Le plus simple est de remanipuler l’opération en mettant les nombres décimaux d’un côté et les puissances de dix de l’autre. Pourquoi ? C’est très simple, je vais vous l’expliquer.
Prenons un exemple long :
3,5 X 103 X 2 X 105 X 4,5 X 10-6 X 2 X 10-4 =
Ici les doigts sur la calculatrice ont des chances de se tromper alors que si nous trions les nombres entre eux, nous obtenons :
3,5 X 2 X 4,5 X 2 X 10-4 X 103 X 105 X 10-6 =
A partir d’ici, j’utilise ce que j’ai déjà appris, à savoir
3,5 X 2 X 4,5 X 2 X 10-4+3+5-6 = 63 X 10 –2 = 63 X 0,01 = 0,63
A quoi peut également servir la notation scientifique ?
Elle peut nous permettre de comparer des nombres entre eux.
En présence de très grands nombres ou de très petits nombres, réduit à l’expression de notation scientifique, il nous est plus facile de comparer les exposants des puissances de 10.
En présence d’exposants égaux, nous n’avons plus qu’à comparer les décimaux.
Vous avouerez que c’est plus simple quand nous nous trouvons face à des tableaux de nombres conséquents (comparaison de densités, études de comparaison d’hématies….)
Quotient de deux nombres écrits en notation scientifique
Là également il est plus facile de calculer un quotient en écriture scientifique que de manipuler de très grands ou très petits nombres :
EXEMPLE :
En résumé
Une puissance c’est
Prochain module : Les racines carrées
Une puissance c’est
- Un nombre qui se multiplie par lui même, autant de fois que l'indique l’exposant.
- Je n’oublie pas les cas particulier :
Si a = 1 alors xa = x
Si a = 0 alors x0 = 1
Si a = 0 alors x0 = 1
- Un nombre négatif sera toujours négatif, s'il est soumis à une puissance impaire
- Par contre, il deviendra positif s'il est soumis à une puissance paire
- une puissance se distribue sur chacun des termes où elle s'applique
- Il n'existe pas de règle particulière pour les additions ou les soustractions de puissances
- J'apprends les formules et je les applique:
En résumé une puissances de 10 :
- Pour toute puissance positive n , on a 10n = 1 suivi de n 0
- Pour toute puissance négative -n , on a : 10-n = = 0,0........1 (n chiffres après la virgule dont le 1)
- Pour multiplier par un nombre décimal par une puissance de 10 ; je dois déplacer ma virgule vers la droite si c’est puissance de 10 positive ; je dois déplacer ma virgule vers la gauche si c’est une puissance de 10 négative.
- Dans les 2 cas, la puissance correspond au nombre de fois où je dois déplacer ma virgule
- Ecrire un nombre en écriture scientifique c'est le mettre sous la forme d'un nombre à 1 chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10.
Prochain module : Les racines carrées
Gaelle Laborie
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